011 是什么？
这是一个许多人都思考过的问题。
从教科书的角度看，1 是一个自然数，是最小的正整数，也是最小的正奇数。
但这并不是我们真正想问的。我们想问的是：1 该如何被表达出来？
先举个例子。我的桌子上有一支铅笔，有一本书。它们是「1 支铅笔」和「1 本书」。铅笔和书本虽然是完全不同的东西，却拥有同一种「数量结构」——各有一个对象。
因此，1 可以看作一个关于数量的抽象概念。
02用集合来表示数量
集合论进一步思考：既然数也是数学对象，能不能用集合本身来表示数？
设：
所以：
再设：
同样有：
可见，数学中的「1」既不是「钢笔」，也不是「书」，甚至不是某一个特定的集合。它是从各种不同对象中抽象出来的共同数量。
集合论接着做了一件非常漂亮的事：它试图把这个抽象出来的「数量」本身也表示成集合。
03冯·诺伊曼的构造
课本中介绍过空集：不含任何元素的集合。以空集为起点，再通过后继关系逐步构造，可以规定：
整个过程可以概括为：
在冯·诺伊曼的构造中，1 被表示为：
冯·诺伊曼构造中的自然数，不仅是用集合表示数量，还具有序数结构。例如：
每一个自然数都包含它之前的所有自然数。这种构造使自然数的大小关系与集合的属于关系联系起来：
04定义与公理的意义
由此可以看到，这样的等式是否成立，并不取决于现实世界中能否观察到，而取决于它在数学语言体系的公理与定义下是否成立。
因此我们得出：定义本身通常不是被证明出来的，而是在建立数学系统时作出的约定。只有当定义和公理确定之后，后续的命题才谈得上「在这个系统中是否可证明」。
05数学对象与数学表示
从上述构造可以进一步思考：数学对象本身与数学对象的表示是否相同？
在日常生活中，数字 1 可以表示一支铅笔、一本书或一个人。这些对象具有不同的性质，但在数量上具有相同的基数。
在集合论中，冯·诺伊曼构造为自然数提供了一种形式化表示，使数字能够被纳入集合论体系之中。然而，这并不意味着自然数只能以这种方式定义。数学中还存在其他自然数构造方式，例如基于等势关系的基数构造。
因此，数学定义不仅是对已有概念的描述，也可以为数学对象建立严格的形式化表示。不同的构造方式，只要满足相应的数学要求，就可能描述同一种抽象结构。
这也说明，数学研究不仅关注结论是否成立，还关注结论依赖于哪些定义、公理与推理规则。